Lagrange teorema di matematica che interessa anche l’economia, studio numero 2. Il primo, a livello concettuale è stato già pubblicato ieri.
Considerato che abbiamo un vincolo non valicabile di 1.000 euro mese (reddito) e delle spese da sostenere, come distribuirle?
Le spese sono di due tipi: andare fuori con gli amici e pagarsi gli studi. Il nostro protagonista è un ragazzo dotato di reddito mensile che prosegue a vivere in famiglia. Ovviamente la famiglia garantisce il vitto e l’alloggio lasciando al giovane la possibilità di (sprecare) il suo reddito al piacere del figliolo. La battuta sarcastica non è scritta a caso. La scelta ragionata del lavoratore-studente residente con la famiglia è per un 50% dedicato alle spese di studio e il resto al divertimento.
La funzione d’utilità sarà così descritta:
U (x,y) = x elevato a 1/2, y elevato a 1/2 ovvero:
Quindi il vincolo di bilancio:
px X + py Y = M (dove M è il reddito disponibile, quindi lo stipendio da mille euro)
Ora servono i prezzi:
Un posto tavola con gli amici al ristorante è pari a 9 euro per pasto. Relativamente alle spese per studiare un testo universitario costa mediamente 30 euro (nuovo).
La condizione di regolarità affinché la funzione di Lagrange è rispettata in quanto i prezzi e il reddito sono maggiori di zero.
Con questi numeri possiamo impostare la lagrangiana in questi termini:
Lo sviluppo della funzione, ESSENDO UN PROCESSO DI MASSIMIZZAZIONE prevede 2 passaggi:
a) posta uguale a zero (perchè oltre non può andare, vedasi parte in colore blu nel foglio a seguire)
b) la derivata parziale di ogni incognita, ovvero della x, quindi della y e infine anche di lambda. Cos’è lambda? Si tratta del moltiplicatore! Rappresenta la variazione dell’utilità quando s’introduce una unità in più di un bene (unità maginale)
A questo punto si sviluppa il sistema ponendolo uguale a zero:
Ecco come graficamente si presenta la funzione di Lagrange, ovvero insignificante per gli studi di economia:
