Calcolare il SMS (il saggio marginale di sostituzione) della funzione di utilità esposta nell’immagine a copertina di questo studio.
Questo è un tipico argomento di microeconomia che messo così su due pieni disorienta tutti.
Poi, però, una volta svolto, il problema diventa “facile”. Che destino crudele l’apparire complesso ma poi gettato dietro le spalle. (Meno male che è così).
In realtà l’intero sviluppo del tema è già risolto, fase per fase, come se fosse un fumetto, basta seguire i passaggi.
Peccato che non sia ancora stato scritto un testo di Microeconomia a fumetti dove tutto è graficamente spiegato passaggio per passaggio.
Si prega d’osservare la grafica 1 con annessa prima fase:
Qualsiasi studente giunto a questo livello, per calcolare il SMS, conosce almeno la formula! Il rapporto tra le utilità di un bene sull’altro.
Fin qui ci siamo: MUx1/Mux2. I problemi veri arrivano adesso.
Per calcolare l’utilità marginale hanno inventato le DERIVATE che in questo caso sono PARZIALI ovvero riferite a un valore e non al tutto.
Questo derivare rispetto a uno e non all’altro si chiama DERIVATA PARZIALE.
Si osservi così come evidenziato il verde a numeratore e in bluet al denominatore distinguendo x1 da x2 e ovviamente le derivate parziali.
Per calcolare il SMS va svolta la derivata parziale dell’utilità (U) rispetto a x1 a numeratore e altrettanto a denominatore però riferito a x2.
Si passi ora alla successiva grafica:
Nella fase tre, x1 al numeratore lo derivo con x1 del denominatore lasciando inalterato ciò che resta, perchè disinteressato all’operazione.
Nell’azione di derivazione il più “grosso”, come valore, vince sul più piccolo. Quindi l’x quadro sopravvive rispetto all’x1, ma non è finita.
L’elevazione a potenza di x1, quel 2 passa alla moltiplicazione motivo per cui ora abbiamo 2 che moltiplica x elevato al 2 – 1 ovvero solo x (sono le regole di derivazione).
Quanto svolto al numeratore è pari al denominatore riferito però in questo caso (come ormai noto) all’x2.
Si è ora pronti per la successiva immagine:
Assodato che ormai siamo arrivati a un valore sul numeratore e tanto nel denominatore, è necessario semplificare ancora tra valori comuni.
Si segua per cortesia il colore che è stato indicato nella fase 5 guidando il criterio di semplificazione tra valori simili.
Calcolare il SMS significa trovare un valore che viene anche messo alla prova assegnando un prezzo ai due beni.
Questo esercizio, una volta svolto, porta solitamente lo studente a dire: tutto qui? Questo è il mestiere di un prof.