Dimostrazione che l’utilità sia convessa ovvero si trovi su una curva d’indifferenza che è di forma convessa. Non si tratta di un problema particolarmente complesso e diffuso, ma “simpatico” per la dinamica. In particolare la meccanica della soluzione allena lo studioso.

Il primo punto da porre a segno è il significato di curva convessa: quella che ha la corda tesa sopra la curva.

S’osservi quanto qui allegato in disegni e conteggi.

Chiarito il concetto di curva convessa si studino bene le 2 forme d’Utilità: la prima è un prodotto tra beni mentre la seconda una somma. Non è finita; questi beni sono elevati a potenza; un qualcosa che mette sempre timore.

Ebbene la soluzione di un’elevazione a potenza del tipo a frazione ha un antidoto: usare la radice ribaltando la frazione. In questo caso il bene “x” elevato a 1/2 è gestibile se diventa la radice quadrata di “x” e così via con la “y”. Ecco la chiave di volta per la soluzione: l’inversione della potenza in frazione a radice!

Fatte le dovute presentazioni con il problema, ora il colpo di scena!

Serve immaginare 2 panieri sulla curva che pensiamo convessa ma va dimostrato.

Questo sforzo di fantasia letteralmente abbatte ogni studente supinamente abituato a ricevere dati.

In uno slancio d’immaginazione si pensi a un paniere A con coordinare 1,4 ovvero 1 sull’ascissa e 4 in ordinata. Ovviamente B sarà 4,1.

Ora “il colpo di grazia”. Le coordinate del paniere vanno poste sotto potenza come già indicato nella funzione d’Utilità.

Vuol dire che l’U (A) = 1 elevato a 1/2 e 4 elevato a 1/2

Stessa sorte per l’U (B) = 4 elevato …..

Con il giochino della radice quadrata emerge che sia A sia B hanno un’utilità pari a 2. Bingo! Vuol dire che sono sulla stessa curva d’indifferenza.

Non è ancora finita.

La dimostrazione giunge a conclusione se si è in grado d’individuare un terzo paniere, il C, che abbia un’utilità superiore ai precedenti A e B. Ciò è possibile calcolando la media di A e B ottenendo un valore diverso (in questo caso superiore) a 2. Significa che C si trova su altra curva d’indifferenza per cui C è preferito ai panieri A e B.

Si prega di seguire i conteggi nelle 3 pagine qui allegate. Buon studio.